平面 $\Pi_1$ 的方程为 $\mathbf{r}=-4\mathbf{j}-3\mathbf{k}+\lambda(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k})+\mu(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k})$。

(a) 求 $\Pi_1$ 的一个方程，形式为 $px+qy+rz=d$。

(b) 平面 $\Pi_2$ 的方程为 $\mathbf{r}\mathbin{\cdot}(-5\mathbf{i}+3\mathbf{j}+5\mathbf{k})=4$。

求 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的交线的一个向量方程。

直线 $l$ 经过位置向量为 $a\mathbf{i}+a\mathbf{j}+(a-7)\mathbf{k}$ 的点 $A$，且平行于向量 $(1-b)\mathbf{i}+b\mathbf{j}+b\mathbf{k}$，其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。

(c) 已知 $A$ 到 $\Pi_1$ 的垂直距离为 $\sqrt2$，求 $a$ 的值。

(d) 已知 $l$ 与 $\Pi_1$ 之间的钝角为 $\frac34\pi$，求 $b$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

两条平面方向的叉积给法向量，再代入参数式中的固定点。

A normal to $\Pi_1$ is

Using normal $(0,1,1)$ and point $(0,-4,-3)$,

两平面法向量叉积给交线方向，任取方便的共同点即可写参数式。

The normals are $(0,1,1)$ and $(-5,3,5)$, whose cross product is

Taking $y=-2$ gives $z=-5$ from $\Pi_1$, and then $-5x+3(-2)+5(-5)=4$ gives $x=-7$. Thus a vector equation is

点到平面距离用绝对值，最后用a为正数排除负根。

The plane is $y+z+7=0$, so

Hence $|2a|=2$, giving $a=\pm1$. Since $a>0$, $\boxed{a=1}$.

用给定角度的正弦与法向量点积联系起来，平方后得到二次方程，再以b为正选根。

The line has direction $\mathbf u=(1-b,b,b)$ and a normal to the plane is $\mathbf n=(0,1,1)$. Using the given angle $3\pi/4$,

since $b>0$. Thus

The roots are $b=-1\pm\sqrt2$. The positive root is