题目

Problem

The matrix $\mathbf{M}$ is given by $\mathbf{M}=\begin{pmatrix}a&b^2\\c^2&a\end{pmatrix}$ , where $a$ , $b$ , $c$ are real constants and $b\ne0$ .

(a) Show that $\mathbf{M}$ does not represent a rotation about the origin.

(2)

(b) Find the equations of the invariant lines, through the origin, of the transformation in the $x$ – $y$ plane represented by $\mathbf{M}$ .

(5)

It is given that $\mathbf{M}$ represents the sequence of two transformations in the $x$ – $y$ plane given by an enlargement, centre the origin, scale factor $5$ followed by a shear, $x$ -axis fixed, with $(0,1)$ mapped to $(5,1)$ .

(3)

(d) The triangle $DEF$ in the $x$ – $y$ plane is transformed by $\mathbf{M}$ onto triangle $PQR$ .

Given that the area of triangle $DEF$ is $12\text{ cm}^2$ , find the area of triangle $PQR$ .

(2)

题目中文翻译

矩阵 $\mathbf{M}$ 为 $\mathbf{M}=\begin{pmatrix}a&b^2\\c^2&a\end{pmatrix}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为实常数，且 $b\ne0$ 。

(a) 证明 $\mathbf{M}$ 不表示绕原点的旋转变换。

(2)

(b) 求 $\mathbf{M}$ 所表示的 $x$ – $y$ 平面变换的所有经过原点的不变直线方程。

(5)

已知 $\mathbf{M}$ 表示在 $x$ – $y$ 平面内依次进行的两个变换：先作以原点为中心、比例因子为 $5$ 的位似变换，再作保持 $x$ 轴不动、将 $(0,1)$ 映射至 $(5,1)$ 的错切变换。

(3)

(d) $x$ – $y$ 平面内的三角形 $DEF$ 经 $\mathbf{M}$ 变换后成为三角形 $PQR$ 。

已知三角形 $DEF$ 的面积为 $12\text{ cm}^2$ ，求三角形 $PQR$ 的面积。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

旋转矩阵的两个非对角元素互为相反数，而这里两个平方都非负，且b平方严格正，不能互为相反数。

答题过程

展开

A rotation about the origin has matrix

\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.

If $\mathbf M$ represented such a rotation, we would require $b^2=-c^2$ , or $b^2+c^2=0$ . Since $b,c$ are real, this forces $b=c=0$ , contradicting $b\ne0$ .

Therefore $\mathbf M$ does not represent a rotation about the origin.

(c)

解法一

思路

展开

放大矩阵先作用，剪切矩阵放在左边。剪切的非对角元素为5，再乘放大因子得到25。

答题过程

展开

The enlargement has matrix $5\mathbf I$ , and the shear has matrix $\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix}$ . Thus

\begin{align*} \mathbf M=&\,\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}\\[4mm] =&\,\boxed{\begin{pmatrix}5&25\\0&5\end{pmatrix}}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

面积倍率是行列式绝对值25，不是剪切系数。

答题过程

展开

|\det\mathbf M|=25.

Therefore

\boxed{\operatorname{Area}(PQR)=25\times12=300\text{ cm}^2}.

CIE 9231 2023 June Paper 12 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程