矩阵 $\mathbf{M}$ 为

其中 $0<\theta<\pi$，$k$ 为非零常数。矩阵 $\mathbf{M}$ 表示依次进行的两个几何变换，其中一个是错切变换。

(a) 完整描述另一个变换，并写出两个变换的施行顺序。

(b) 将 $\mathbf{M}^{-1}$ 写成两个矩阵的乘积，且这两个矩阵都不能是 $\mathbf{I}$。

(c) 求使 $\mathbf{M}-\mathbf{I}$ 为奇异矩阵的 $\tan\theta$ 的值，用 $k$ 表示。

(d) 已知 $k=2\sqrt3$ 且 $\theta=\frac13\pi$，证明 $\mathbf{M}$ 所表示的变换的不变点位于直线 $3y+\sqrt3x=0$ 上。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

右侧剪切先作用，另一矩阵是转角为2θ的标准旋转矩阵。

The other transformation is a rotation anticlockwise through angle $2\theta$ about the origin.

The shear is applied first, followed by this rotation.

复合矩阵取逆时倒转次序，剪切参数变号、旋转角变号。

Neither factor is $\mathbf I$, since $k\ne0$ and $0<\theta<\pi$.

先算M减单位矩阵的行列式，再用倍角式把方程降为sinθ与cosθ。除以sinθ前用题目角范围确认非零，再排除cosθ为零。

Write $c=\cos2\theta$ and $s=\sin2\theta$. Then

For this matrix to be singular,

Using the double-angle identities,

Since $0<\theta<\pi$, $\sin\theta>0$, so $2\sin\theta=k\cos\theta$. Here $\cos\theta$ cannot be zero, as that would force $\sin\theta=0$. Thus

代入参数先算M，再用固定点的像等于自身得到线性方程。两个条件其实是同一条直线。

For $k=2\sqrt3$ and $\theta=\pi/3$,

An invariant point satisfies $\mathbf M(x,y)^{\mathsf T}=(x,y)^{\mathsf T}$, giving

These simplify to $x+\sqrt3y=0$ and $\sqrt3x+3y=0$, which are equivalent. Therefore the invariant points lie on

Conversely every point on this line satisfies both equations, so the whole line consists of invariant points.