三次方程 $2x^3+x^2-px-5=0$ 的根为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，其中 $p$ 为正常数。

(a) 写出 $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ 的值，以 $p$ 表示。

(b) 求 $\alpha^2\beta\gamma+\alpha\beta^2\gamma+\alpha\beta\gamma^2$ 的值。

(c) 推导出一个以 $\alpha\beta$、$\beta\gamma$、$\alpha\gamma$ 为根的三次方程。

(d) 已知 $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\frac13$，求 $p$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用韦达定理读取二次对称和，注意首项系数是2。

Vieta’s formula gives

提取三根之积，余下是三根之和，两者都能从原方程读取。

From the original cubic,

Hence

新根的一次和、二次对称和、三根积都已知，按三次方程系数的交替符号组装。

For the new roots $\alpha\beta,\beta\gamma,\alpha\gamma$:

• Their sum is $-p/2$, by (a).
• Their pairwise product sum is $-5/4$, by (b).
• Their product is $(\alpha\beta\gamma)^2=25/4$.

Thus a required equation is

or, equivalently,

用平方和恒等式把给定条件化成p的一次方程。

Thus $\frac13=\frac14+p$, so $\boxed{p=\frac1{12}}$, which is positive.