矩阵 $\mathbf{M}$ 定义为

(a) 矩阵 $\mathbf{M}$ 表示在 $x$-$y$ 平面上依次进行的两个几何变换。

详细说明每个变换，并明确指出它们的实施顺序。

(b) 将 $\mathbf{M}^{-1}$ 写成两个矩阵的乘积，且这两个矩阵都不能是 $\mathbf{I}$。

(c) 求矩阵 $\mathbf{M}$ 所表示的变换的所有经过原点的不变直线方程。

(d) $x$-$y$ 平面上的三角形 $ABC$ 经矩阵 $\mathbf{M}$ 变换后得到三角形 $DEF$。

已知三角形 $DEF$ 的面积为 $28\text{ cm}^2$，求三角形 $ABC$ 的面积。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

右边矩阵先作用，因此先横向拉伸，再绕原点逆时针转六十度。

First apply a one-way stretch parallel to the $x$-axis with scale factor $14$.

Then apply a rotation through $\frac\pi3$ radians anticlockwise about the origin, since the left matrix is the standard rotation matrix with $\cos(\pi/3)=\frac12$ and $\sin(\pi/3)=\frac{\sqrt3}{2}$.

复合变换取逆时顺序倒转，各矩阵分别取逆。旋转逆矩阵把角度变号。

Writing $\mathbf M=\mathbf R\mathbf S$,

Both factors are different from $\mathbf I$.

写出合成矩阵，把y=mx上的点映射后仍在该线上作为条件。最后检查竖直线没有遗漏。

Multiplying the matrices gives

The image of $(x,mx)$ is

For $y=mx$ to be invariant, require $Y=mX$. Thus

Therefore $m=7/\sqrt3$ or $m=2\sqrt3$. For these slopes the horizontal scale factors are $7/2$ and $4$, both nonzero, so both lines map onto themselves.

The vertical line is not invariant, since $(0,y)$ maps to $(-\sqrt3y/2,y/2)$. Hence the required equations are

旋转不改面积，拉伸使面积乘14，所以原三角形面积是像面积除以14。

Thus $28=14\,\operatorname{Area}(ABC)$, giving