三次方程 $x^3+2x^2+3x+1=0$ 的根为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$。

(a) 求一个以 $\alpha^2+1$、$\beta^2+1$、$\gamma^2+1$ 为根的三次方程。

(b) 求 $(\alpha^2+1)^2+(\beta^2+1)^2+(\gamma^2+1)^2$ 的值。

(c) 求 $(\alpha^2+1)^3+(\beta^2+1)^3+(\gamma^2+1)^3$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

令y=x平方加1，原方程中奇次项可提取x。把含x的两边平方后用x平方等于y−1消去x，避免对复数根随意选择平方根符号。

For a root $x$ of the original cubic, put $y=x^2+1$, so $x^2=y-1$. The cubic gives

Squaring and substituting $x^2=y-1$,

Hence a required cubic is

Its roots are $\alpha^2+1$, $\beta^2+1$ and $\gamma^2+1$.

把三个新根作为整体，直接用新方程系数给出的一次和与二次对称和。

Let the new roots be $u,v,w$. From (a),

Thus the required sum is

每个新根满足新三次方程，分别代入并相加，把立方和降为平方和与一次和。

Each of $u,v,w$ satisfies $y^3=y^2-4y+5$. Summing and using (b),

也可用三变量立方和恒等式，直接读取新根的三个基本对称量。

From (a), $u+v+w=1$, $uv+vw+wu=4$ and $uvw=5$. The identity for the sum of cubes gives