矩阵 $\mathbf{M}$ 定义为 $\mathbf{M}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&0\\0&1\end{pmatrix}$。

(a) 矩阵 $\mathbf{M}$ 表示在 $x$-$y$ 平面上依次进行的两个几何变换。

详细说明每个变换，并明确指出它们的实施顺序。

(b) 求矩阵 $\mathbf{M}$ 所表示的变换的所有经过原点的不变直线方程。

$x$-$y$ 平面上的三角形 $DEF$ 经矩阵 $\mathbf{M}$ 变换后得到三角形 $PQR$。

(c) 已知三角形 $PQR$ 的面积为 $35\text{ cm}^2$，求三角形 $DEF$ 的面积。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

右侧矩阵先作用：先横向拉伸，再沿固定横轴作剪切，必须说明剪切中单位纵向点的像。

First apply a one-way stretch parallel to the $x$-axis, scale factor $7$.

Then apply a shear with the $x$-axis fixed, taking $(0,1)$ to $(2,1)$.

设过原点直线为y=mx，要求像点的纵横坐标仍满足此关系，再检查竖直线。

The combined matrix is

A point $(x,mx)$ maps to $((7+2m)x,mx)$. For $Y=mX$,

Thus $m=0$ or $m=-3$. The corresponding horizontal factors are $7$ and $1$, both nonzero, so each line maps onto itself.

The vertical line is not invariant, since $(0,y)$ maps to $(2y,y)$. Therefore

面积乘以行列式绝对值7，因此原像面积是像面积除7。

Hence $\boxed{\operatorname{Area}(DEF)=35/7=5\text{ cm}^2}$.