直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方程分别为

(a) 求 $l_1$ 与 $l_2$ 之间的最短距离。

平面 $\Pi_1$ 包含 $l_1$，且平行于 $l_2$。

(b) 求 $\Pi_1$ 的一个方程，写成 $px+qy+rz=s$ 的形式。

(c) 点 $(1,1,1)$ 位于平面 $\Pi_2$ 上。

已知平面 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的交线经过点 $(0,0,2)$，且平行于向量 $\mathbf{i}+4\mathbf{j}-3\mathbf{k}$。

求 $\Pi_2$ 的一个方程，写成 $ax+by+cz=d$ 的形式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

取两直线上各一点的连接向量，投影到两方向叉积所给的公垂线方向。

Take $A=(1,4,-1)$ on $l_1$ and $B=(-3,4,0)$ on $l_2$. Then

The direction vectors of the lines are $\mathbf u=(0,1,-2)$ and $\mathbf v=(1,2,1)$, with

Thus the shortest distance is

上一问的共同垂直方向正是所求平面的法向量，再代入第一直线上的点。

The plane has normal $(5,-2,-1)$ from (a) and contains $(1,4,-1)$. Hence

so

第二平面包含交线的方向，也包含两个给定点之间的方向。这两个向量叉积给法向量。

The points $E=(0,0,2)$ and $F=(1,1,1)$ lie on $\Pi_2$, so $\overrightarrow{EF}=(1,1,-1)$ lies in the plane. Another direction is that of the intersection line, $(1,4,-3)$.

A normal is

Using $F=(1,1,1)$ gives

As a check, $E$ satisfies both plane equations, and $(1,4,-3)$ is perpendicular to both normals, as required for their common line.