题目
Problem
The cubic equation x3+2x+1=0 has roots α, β, γ.
(a) Find a cubic equation whose roots are α3−1, β3−1, γ3−1.
(3)
(b) Find the value of (α3−1)2+(β3−1)2+(γ3−1)2.
(2)
(c) Find the value of (α3−1)3+(β3−1)3+(γ3−1)3.
(2)
题目中文翻译
三次方程 x3+2x+1=0 的根为 α、β、γ。
(a) 求一个以 α3−1、β3−1、γ3−1 为根的三次方程。
(3)
(b) 求 (α3−1)2+(β3−1)2+(γ3−1)2 的值。
(2)
(c) 求 (α3−1)3+(β3−1)3+(γ3−1)3 的值。
(2)
原卷通用作答要求
Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.
You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.
Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.
请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。
解答
(a)
解法一
思路
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设新根为y=x立方−1，利用原方程同时把y表示成x的一次式，再立方消去x。
答题过程
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Put y=x3−1 for an original root x. Since x3+2x+1=0,
y+1=x3=−2x−1,y+2=−2x.
Cubing the second relation gives
(y+2)3=−8x3=−8(y+1).
Hence
y3+6y2+12y+8+8y+8=0.
The required cubic equation is therefore
y3+6y2+20y+16=0.
(b)
解法一
思路
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所求是新三次方程根的平方和，用韦达关系即可。
答题过程
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Let the new roots be p,q,r. Then p+q+r=−6 and pq+qr+rp=20. Therefore
p2+q2+r2=(−6)2−2(20)=−4.
(c)
解法一
思路
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各新根满足三次方程，将三式相加求立方和；常数项要累加三次。
答题过程
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Each new root y satisfies y3=−6y2−20y−16. Summing gives
p3+q3+r3==−6(−4)−20(−6)−16(3)96.
