矩阵 $\mathbf{M}$ 表示在 $x$-$y$ 平面上依次进行的两个变换：先沿平行于 $x$ 轴的方向拉伸，比例因子为 $14$，再绕原点逆时针旋转 $\frac13\pi$。

(a) 证明 $2\mathbf{M}=\begin{pmatrix}14&-\sqrt{3}\\14\sqrt{3}&1\end{pmatrix}$。

(b) 求矩阵 $\mathbf{M}$ 所表示的 $x$-$y$ 平面上的变换中，经过原点的不变直线的方程。

$x$-$y$ 平面上的单位正方形 $S$ 经矩阵 $\mathbf{M}$ 变换后得到矩形 $P$。

(c) 求将 $P$ 变换为 $S$ 的矩阵。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先伸缩再旋转，列向量约定下旋转矩阵在左边。代入π/3的精确三角值。

The stretch matrix is $\mathbf S=\begin{pmatrix}14&0\\0&1\end{pmatrix}$ and the rotation matrix is

Since the stretch is applied first,

Hence

as required.

设不变直线y=mx，要求像点满足Y=mX。另检查竖直线不会遗漏。

For a point $(x,mx)$, its image is

Using $Y=mX$,

Thus

The vertical line is not invariant because $(0,1)$ maps to $(-\sqrt3/2,1/2)$. Therefore

把像矩形变回原正方形，需要原变换的逆矩阵。注意要求的是M的逆，不是2M的逆。

The required matrix is $\mathbf M^{-1}$. Since $\det\mathbf M=14$,