题目

Problem

The cubic equation $x^3+bx^2+cx-1=0$ , where $b$ and $c$ are constants, has roots $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .

It is given that the matrix $\begin{pmatrix}1&\alpha&\beta\\\alpha&1&\gamma\\\beta&\gamma&1\end{pmatrix}$ is singular.

(a) Show that $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3$ .

(4)

(b) It is given that $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=3$ and that the constants $b$ and $c$ are positive.

Find the values of $b$ and $c$ .

(6)

题目中文翻译

三次方程 $x^3+bx^2+cx-1=0$ 的根为 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ ，其中 $b$ 和 $c$ 为常数。

已知矩阵 $\begin{pmatrix}1&\alpha&\beta\\\alpha&1&\gamma\\\beta&\gamma&1\end{pmatrix}$ 为奇异矩阵。

(a) 证明 $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3$ 。

(4)

(b) 已知 $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=3$ ，且常数 $b$ 和 $c$ 均为正数。

求 $b$ 和 $c$ 的值。

(6)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

奇异矩阵行列式为零，展开后出现平方和及三根之积。韦达定理给三根之积为1。

答题过程

展开

By Vieta’s formulae for $x^3+bx^2+cx-1=0$ ,

\alpha\beta\gamma=1.

Since the given matrix is singular,

\begin{align*} 0=&\,(1-\gamma^2)-\alpha(\alpha-\beta\gamma)\\[4mm] &\,+\beta(\alpha\gamma-\beta)\\[4mm] =&\,1-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2+2\alpha\beta\gamma\\[4mm] =&\,3-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2. \end{align*}

Therefore $\boxed{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3}$ .

(b)

解法一

思路

展开

先用根的平方和联系b与c；再把三根分别代入原三次式并相加，利用已知的立方和求c。正数条件决定b的符号。

答题过程

展开

Vieta’s formulae give

\begin{align*} \alpha+\beta+\gamma=&\,-b,\\[4mm] \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=&\,c. \end{align*}

Using (a),

\begin{align*} 3=&\,(\alpha+\beta+\gamma)^2\\[4mm] &\,-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\[4mm] =&\,b^2-2c. \end{align*}

Each root satisfies the cubic. Adding the three resulting equations gives

\begin{align*} 0=&\,(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) +b(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+c(\alpha+\beta+\gamma)-3\\[4mm] =&\,3+3b-bc-3\\[4mm] =&\,b(3-c). \end{align*}

Since $b>0$ , we obtain $c=3$ . Then $b^2=3+2(3)=9$ , and $b>0$ gives

\boxed{b=3,\qquad c=3}.

CIE 9231 2025 June Paper 14 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程