矩阵 $\mathbf{M}$ 表示在 $x$-$y$ 平面上依次进行的两个变换：先沿 $x$ 方向单向拉伸，比例因子为 $3$，再关于直线 $y=x$ 反射。

(a) 求 $\mathbf{M}$。

(b) 完整描述矩阵 $\mathbf{M}^{-1}$ 所表示的 $x$-$y$ 平面上的几何变换。

矩阵 $\mathbf{N}$ 满足 $\mathbf{MN}=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}$。

(c) 求 $\mathbf{N}$。

(d) 求矩阵 $\mathbf{MN}$ 所表示的 $x$-$y$ 平面上的变换中，经过原点的不变直线的方程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

列向量约定下，先做的拉伸矩阵放右边，反射矩阵放左边。

The stretch and reflection have matrices

Therefore

逆变换把两步的先后倒转，并把拉伸因子取倒数；反射的逆仍是同一反射。

Thus the inverse consists of a reflection in $y=x$, followed by a one-way stretch in the $x$-direction with scale factor $\frac13$.

在等式左边左乘M的逆矩阵，不能随意交换矩阵次序。

不变直线上的点变换后仍在原直线上，因此斜率不变。另查斜率法没有涵盖的竖直线。

A point $(x,mx)$ on $y=mx$ is mapped by $\mathbf{MN}$ to

For the line to be invariant, $y'=mx'$, so

Thus $m=\frac32$ or $m=-1$. Neither gives $1+2m=0$, so each maps onto the same line.

The vertical line is not invariant: $(0,y)$ maps to $(2y,2y)$.

Hence the required lines are