矩阵 $\mathbf{M}$ 表示在 $x$-$y$ 平面上依次进行的两个变换：先进行平行于 $x$ 轴、伸缩因子为 $k$（$k\ne0,1$）的伸缩变换，再进行以 $x$ 轴为不动轴、将 $(0,1)$ 映射到 $(2,1)$ 的错切变换。

(a) 证明 $\mathbf{M}=\begin{pmatrix}k&2\\0&1\end{pmatrix}$。

(b) 矩阵 $\mathbf{M}$ 所表示的变换有一条由不动点组成的直线。

用 $k$ 表示这条直线的方程。

$x$-$y$ 平面上的正方形 $S$ 经 $\mathbf{M}$ 变换后得到平行四边形 $P$。

(c) 已知 $S$ 的面积为 $P$ 的面积的一半，求 $k$ 的可能值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先伸缩再错切，采用列向量时，后做的变换矩阵要乘在左边。

The stretch and shear have matrices

respectively. The shear fixes $(1,0)$ and maps $(0,1)$ to $(2,1)$.

Since the stretch is applied first,

as required.

不变点要求变换后的两个坐标都等于原坐标，而不仅是直线整体不变。

For a fixed point $(x,y)$,

The second coordinate is automatically unchanged, and the first requires $kx+2y=x$. Hence the line of invariant points is

面积倍数是行列式的绝对值，负行列式仍可能给出正确面积倍数。

The area scale factor is $|\det\mathbf M|=|k|$. Since the area of $P$ is twice that of $S$,

Thus $\boxed{k=2\text{ or }k=-2}$; both satisfy $k\ne0,1$.