(a) 利用公式表（MF19），求 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n}r(r+2)$，用 $n$ 表示，并化简答案。

(b) 将 $\dfrac{1}{r(r+2)}$ 分解为部分分式，并由此求 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{r(r+2)}$，用 $n$ 表示。

(c) 推导出 $\displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r(r+2)}$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

展开r(r+2)，代入平方和与自然数和，提取公共因子。

两个因子相隔2，拆成倒数差后隔两项相消，最后留下开头两项和末尾两项。

Let

Then $1=A(r+2)+Br$, giving $A+B=0$ and $2A=1$. Hence

Therefore

The expanded pattern illustrates cancellation for sufficiently large $n$; the resulting formula also holds directly for smaller positive $n$.

两个末项倒数都趋于零，故无穷和是剩余首项的一半。

Using (b),