矩阵 $\mathbf M$ 为

其中 $k$ 为常数，且 $k$ 不等于 $0$ 或 $1$。

(a) 矩阵 $\mathbf M$ 表示依次进行的两个几何变换。

写出每个变换的类型，并明确说明它们的作用顺序。

(b) 将 $\mathbf M^{-1}$ 写成两个矩阵的乘积，且这两个矩阵均不是 $\mathbf I$。

(c) 证明 $\mathbf M$ 所表示的变换的不变点位于直线 $y=\dfrac{k^2}{1-k}x$ 上。

(d) $x$–$y$ 平面内的三角形 $ABC$ 经 $\mathbf M$ 变换后得到三角形 $DEF$。

求使三角形 $DEF$ 与三角形 $ABC$ 的面积相等的 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

右侧剪切先作用，再沿纵轴拉伸。

The sequence is a shear followed by a stretch. The stretch is parallel to the $y$-axis with scale factor $k$.

将复合变换的次序倒转，各因子取逆。

Neither factor is $\mathbf I$, since $k\ne0,1$.

不变点要求坐标不变。横坐标自动满足，纵坐标给一条直线，利用k不等于1可解出斜率。

The combined matrix is

Thus $(x,y)$ maps to $(x,k^2x+ky)$. For an invariant point,

Since $k\ne1$, the invariant points lie on

Conversely every point on this line is fixed, so it is the entire line of invariant points.

相等面积要求行列式绝对值为1，再排除题目已经禁用的k=1。

Since $\det\mathbf M=k$, the area scale factor is $|k|$. Equal areas require $|k|=1$, so $k=\pm1$.

The value $k=1$ is excluded by the question. Therefore $\boxed{k=-1}$.