曲线 $C$ 的极坐标方程为 $r=a\sec^2\theta$，其中 $a$ 为正常数，且 $0\le\theta\le\frac14\pi$。

(a) 画出 $C$ 的草图，写出 $C$ 与极轴的交点，以及与射线 $\theta=\frac14\pi$ 的交点的极坐标。

(b) 求 $C$ 上的点到极轴的最大距离。

(c) 求由 $C$、极轴和射线 $\theta=\frac14\pi$ 所围区域的面积。

(d) 求 $C$ 的直角坐标方程，写成 $y=\mathrm f(x)$ 的形式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

极径随θ增加，从a增至2a；横纵坐标都增加，起点切线竖直。角区间只截取第一象限一段。

For $r=a\sec^2\theta$ on $0\leqslant\theta\leqslant\pi/4$,

For $\theta>0$,

Thus the polar coordinates of the required intersections are

Sketch an increasing first-quadrant arc from Cartesian point $(a,0)$ to $(a\sqrt2,a\sqrt2)$, with vertical tangent at its starting point and positive gradient thereafter. Label the initial line and the boundary half-line $\theta=\pi/4$.

到极轴的距离是纵坐标，极径与正弦都在该区间增加，所以最大值在终点。

The distance is $y=r\sin\theta=a\sec^2\theta\sin\theta$. Both nonnegative factors increase on $[0,\pi/4]$, so the maximum is attained at $\theta=\pi/4$.

Hence the maximum distance is

面积积分包含正割四次，用正切替换一个正割平方，再令u为正切即可。

Using $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$, put $u=\tan\theta$, so $\mathrm{d}u=\sec^2\theta\,\mathrm{d}\theta$ and the limits become $0,1$. Then

用x等于r乘余弦，得到x=a乘正割，再以正切表示y。由于角在第一象限，只取非负平方根并给出横坐标范围。

Since

we have $a\leqslant x\leqslant a\sqrt2$. Also

Using $\tan\theta\geqslant0$,

Therefore

The required portion has $a\leqslant x\leqslant a\sqrt2$.