(a) 证明：笛卡尔方程为

的曲线，其极坐标方程为 $r=\cos\theta$。

曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的极坐标方程分别为

其中 $0\leqslant\theta\leqslant\frac12\pi$。曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 相交于极点和另一个点 $P$。

(b) 求 $P$ 的极坐标。

(c) 在同一张图上画出 $C_1$ 和 $C_2$ 的草图，清楚标明每条曲线，并标出点 $P$。

(d) 区域 $R$ 由 $C_1$ 和 $C_2$ 围成，且包含线段 $OP$。

求 $R$ 的面积，以精确形式表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

展开圆的方程后用r平方与横坐标的极坐标表达，再保留极点。

Expanding the Cartesian equation gives

Substituting $x=r\cos\theta$ and $x^2+y^2=r^2$,

For non-pole points, $r\ne0$, so $\boxed{r=\cos\theta}$. The pole is also represented, for example at $\theta=\pi/2$, so it is retained.

除去极点后cosθ非零，可以约去该因子。解出角度后代回任一极径式。

At a common point,

For $P$ the point is not the pole, so $r=\cos\theta\ne0$. Dividing by $\cos\theta$ gives $\sin\theta=1/2$.

In $0\leqslant\theta\leqslant\pi/2$, this gives $\theta=\pi/6$ and $r=\cos(\pi/6)=\sqrt3/2$. Therefore

给定角区间内，第一条曲线只画圆的上半圆；第二条曲线只画第一象限一个环，标明两条曲线及交点。

Sketch $C_1$ as the upper semicircle with centre $(1/2,0)$ and radius $1/2$, running from $(1,0)$ to the pole.

Sketch $C_2$ as one first-quadrant loop, starting at the pole with horizontal tangent and returning to the pole with vertical tangent. Its maximum radius is $1$ at $\theta=\pi/4$.

Label both curves and mark their non-pole intersection $P=(\sqrt3/2,\pi/6)$; in Cartesian coordinates this is $(3/4,\sqrt3/4)$.

包含OP的区域是两曲线公共部分。OP两侧的外边界不同：小角度由正弦环限制，大角度由圆限制，因此分段积分相加。

For $0\leqslant\theta\leqslant\pi/6$, $\sin2\theta\leqslant\cos\theta$. For $\pi/6\leqslant\theta\leqslant\pi/2$, $\cos\theta\leqslant\sin2\theta$. Thus the common region containing $OP$ has area

Using the double-angle identities,

Adding gives