矩阵 $\mathbf{M}$ 为 $\mathbf{M}=\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$，其中 $k$ 为常数，且 $k\ne0$、$k\ne1$。

(a) 矩阵 $\mathbf{M}$ 表示依次进行的两个几何变换。写出每个变换的类型，并明确指出它们的施行顺序。

$x$–$y$ 平面内的单位正方形经 $\mathbf{M}$ 变换后成为平行四边形 $OPQR$。

(b) 用 $k$ 表示平行四边形 $OPQR$ 的面积，以及将 $OPQR$ 变换为单位正方形的矩阵。

(c) 证明，在 $x$–$y$ 平面内，经过原点且斜率为 $\dfrac{1}{k-1}$ 的直线在 $\mathbf{M}$ 所表示的变换下保持不变。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

右侧矩阵先作用，先剪切，后拉伸。题目只要求类型与次序，可在描述中顺便明确两矩阵的几何含义。

The transformation is a shear followed by a stretch.

The shear fixes the $y$-axis and maps $(1,0)$ to $(1,1)$. The subsequent stretch is parallel to the $x$-axis with scale factor $k$.

面积倍率取行列式绝对值，不能把负k当作负面积。逆矩阵按两行两列的标准公式计算。

The combined matrix is

Thus $\det\mathbf M=k$. Since the original square has area $1$, the parallelogram has area $\boxed{|k|}$.

As $k\ne0$, a matrix taking the parallelogram back onto the unit square is

直接取所给直线上的一般点，证明其像等于该点向量乘k。k非零保证整条直线映回自身。

A general point on the given line has position vector $(x,x/(k-1))$. Its image is

Thus the image satisfies $Y=X/(k-1)$. Since $k\ne0$, the image covers the same line, proving it is invariant.