平面 $\Pi_1$ 的方程为 $\mathbf{r}=\mathbf{i}-\mathbf{j}-2\mathbf{k}+\lambda(\mathbf{i}-2\mathbf{j}-3\mathbf{k})+\mu(3\mathbf{i}-\mathbf{k})$。

(a) 求 $\Pi_1$ 的一个方程，形式为 $ax+by+cz=d$。

直线 $l$ 不在 $\Pi_1$ 内，其方程为 $\mathbf{r}=-3\mathbf{i}+\mathbf{k}+t(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})$。

(b) 证明 $l$ 平行于 $\Pi_1$。

(c) 求 $l$ 与 $\Pi_1$ 之间的距离。

(d) 平面 $\Pi_2$ 的方程为 $3x+3y+2z=1$。

求 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的交线的一个向量方程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

参数式给出平面内两方向，叉积给法向量，再代已知点。

A normal to $\Pi_1$ is

Using the point $(1,-1,-2)$,

Thus $\boxed{\Pi_1:\ x-4y+3z=-1}$.

直线方向与平面法向量点积为零，说明方向平行；同时检查直线上的一点不在平面内。

The line has direction $(1,1,1)$, and

Thus its direction is parallel to the plane. The point $(-3,0,1)$ on $l$ gives $x-4y+3z=0\ne-1$, so it is not in the plane. Hence $l$ is parallel to $\Pi_1$.

平行直线各点到平面距离相同，任选参数为零的点代入距离公式。

Using $(-3,0,1)$ on $l$ and the plane $x-4y+3z+1=0$, the distance is

两平面法向量叉积给交线方向，再令一个坐标为零求共同点。

A direction of the intersection line is

Setting $z=0$, the two plane equations become

Solving gives $y=4/15$ and $x=1/15$. Hence a vector equation is

The direction is perpendicular to both normals and the point satisfies both plane equations.