矩阵 $\mathbf{M}$ 表示在 $x$-$y$ 平面上依次进行的两个变换：先沿平行于 $x$ 轴的方向拉伸，比例因子为 $k$（$k\neq0$），再进行保持 $x$ 轴不动、将 $(0,1)$ 映射为 $(k,1)$ 的错切变换。

(a) 证明 $\mathbf{M}=\begin{pmatrix}k&k\\0&1\end{pmatrix}$。

(b) 矩阵 $\mathbf{M}$ 所表示的变换有一条由不变点组成的直线。

求这条直线的方程，以 $k$ 表示。

$x$-$y$ 平面上的单位正方形 $S$ 经矩阵 $\mathbf{M}$ 变换后得到平行四边形 $P$。

(c) 求一个将 $P$ 变换为 $S$ 的矩阵，以 $k$ 表示。

(d) 已知 $P$ 的面积为 $3k^2$ 平方单位，求 $k$ 的可能值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分别写拉伸与剪切矩阵，再按先右后左的次序相乘。

The stretch has matrix $\mathbf S=\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}$. The shear fixes $(1,0)$ and sends $(0,1)$ to $(k,1)$, so its matrix is $\mathbf H=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$.

Applying the stretch first gives

不变点要求每个点的坐标完全不变，比只要求点留在同一直线更强。

A point $(x,y)$ is mapped to $(kx+ky,y)$. For it to be invariant,

Since $k\ne0$, the line of invariant points is

This also covers $k=1$, when the line is $y=0$.

用逆矩阵把像平行四边形还原成原来的单位正方形。

Since $\det\mathbf M=k\ne0$, a suitable matrix is

面积倍率是行列式的绝对值，负的k不能漏掉。

The unit square has area $1$, so $P$ has area $|\det\mathbf M|=|k|$. Hence

As $k\ne0$, division by $|k|$ gives $1=3|k|$. Thus