(a) 用差分法求 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n}\frac{5k}{(5r+k)(5r+5+k)}$，以 $n$ 和 $k$ 表示，其中 $k$ 为正常数。

已知 $\displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}\frac{5k}{(5r+k)(5r+5+k)}=\frac13$。

(b) 求 $k$ 的值。

(c) 由此求 $\displaystyle\sum_{r=n}^{n^2}\frac{5k}{(5r+k)(5r+5+k)}$，以 $n$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分母相差5，拆成两项后有相邻项抵消。先保留一般的k，不提前代入特殊数值。

Since

the partial sum is

The expanded display illustrates the cancellation for sufficiently large $n$; the resulting formula also holds directly for smaller positive $n$.

令部分和中的n趋于无穷，再解所给和为三分之一的方程。

Taking the limit in (a),

Therefore $3k=5+k$, giving $\boxed{k=\frac52}$, consistent with $k>0$.

从n到n平方的求和，等于前n平方项之和减前n−1项之和；起始下标不要减错。

Using (a) and (b), with $S_0=0$,