题目

Problem

It is given that

\begin{align*} \alpha+\beta+\gamma+\delta=&\,2,\\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=&\,3,\\ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3=&\,4. \end{align*}

(a) Find the value of $\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta$ .

(2)

(b) Find the value of

\begin{align*} &\,\alpha^2\beta+\alpha^2\gamma+\alpha^2\delta+\beta^2\alpha\\ &\,\hspace{2pt}+\beta^2\gamma+\beta^2\delta+\gamma^2\alpha+\gamma^2\beta\\ &\,\hspace{4pt}+\gamma^2\delta+\delta^2\alpha+\delta^2\beta+\delta^2\gamma. \end{align*}

(3)

6x^4-12x^3+3x^2+2x+6=0.

(i) Find the value of $\alpha^4+\beta^4+\gamma^4+\delta^4$ .

(3)

(ii) Find the value of $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5+\delta^5$ .

(2)

题目中文翻译

已知

\begin{align*} \alpha+\beta+\gamma+\delta=&\,2,\\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=&\,3,\\ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3=&\,4. \end{align*}

(a) 求 $\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta$ 的值。

(2)

(b) 求

\begin{align*} &\,\alpha^2\beta+\alpha^2\gamma+\alpha^2\delta+\beta^2\alpha\\ &\,\hspace{2pt}+\beta^2\gamma+\beta^2\delta+\gamma^2\alpha+\gamma^2\beta\\ &\,\hspace{4pt}+\gamma^2\delta+\delta^2\alpha+\delta^2\beta+\delta^2\gamma \end{align*}

的值。

(3)

6x^4-12x^3+3x^2+2x+6=0

的根。

(i) 求 $\alpha^4+\beta^4+\gamma^4+\delta^4$ 的值。

(3)

(ii) 求 $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5+\delta^5$ 的值。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

平方和等于一次和的平方减两倍二次对称和。

答题过程

展开

Let $E_2$ be the required sum of pairwise products. Then

3=2^2-2E_2,

\boxed{\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+ \beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta=\frac12}.

(b)

解法一

思路

展开

按平方因子分组，每组括号都是总和2减去该因子对应的根，因此化成两倍平方和减立方和。

答题过程

展开

Denote the required twelve-term sum by $T$ . Grouping terms,

\begin{align*} T=&\,\alpha^2(\beta+\gamma+\delta) +\beta^2(\alpha+\gamma+\delta)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\gamma^2(\alpha+\beta+\delta) +\delta^2(\alpha+\beta+\gamma)\\[4mm] =&\,\alpha^2(2-\alpha)+\beta^2(2-\beta)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\gamma^2(2-\gamma)+\delta^2(2-\delta)\\[4mm] =&\,2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2)\\[4mm] &\,-(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3)\\[4mm] =&\,2(3)-4\\[4mm] =&\,\boxed{2}. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

把四个根分别代入四次方程再相加，注意常数6要累计四次。

答题过程

展开

Let $S_j=\alpha^j+\beta^j+\gamma^j+\delta^j$ . Summing the given quartic equation over its four roots gives

6S_4-12S_3+3S_2+2S_1+24=0.

Using $S_1=2$ , $S_2=3$ , $S_3=4$ ,

6S_4-48+9+4+24=0.

Hence $6S_4=11$ , so

\boxed{\alpha^4+\beta^4+\gamma^4+\delta^4=\frac{11}{6}}.

(c)(ii)

解法一

思路

展开

先将原方程乘x再对四根求和，承接上一问的四次和。

答题过程

展开

Multiplying the quartic by $x$ gives

6x^5-12x^4+3x^3+2x^2+6x=0.

Summing over the four roots,

\begin{align*} 6S_5=&\,12S_4-3S_3-2S_2-6S_1\\[4mm] =&\,12\big(\tfrac{11}{6}\big)-3(4)-2(3)-6(2)\\[4mm] =&\,-8. \end{align*}

Therefore

\boxed{\alpha^5+\beta^5+\gamma^5+\delta^5=-\frac43}.

CIE 9231 2024 November Paper 12 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程