已知 $\displaystyle S_n=\sum_{r=1}^{n}u_r$，其中 $u_r=x^{\mathrm{f}(r)}-x^{\mathrm{f}(r+1)}$，且 $x>0$。

(a) 求 $S_n$，以 $n$、$x$ 和函数 $\mathrm{f}$ 表示。

(b) 已知 $\mathrm{f}(r)=\ln r$，求使无穷级数

收敛的 $x$ 的取值集合，并在无穷和存在时给出该无穷和。

(c) 现在改为已知 $\mathrm{f}(r)=2\log_x r$，其中 $x\neq1$。利用公式表（MF19）中的标准结果，求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{N}S_n$，以 $N$ 表示，并将答案完全因式分解。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

展开相邻差的前三项与末三项，首尾以外全部抵消。

The displayed pattern is for sufficiently large $n$; the same cancellation formula holds directly for smaller positive $n$.

把幂改写成以e为底，收敛取决于ln x的正负。x=1时每一项为零，必须另列其和。

Here $\mathrm f(1)=0$, so (a) gives

For $0<x<1$, $\ln x<0$ and $(n+1)^{\ln x}\to0$, so the sum to infinity is $1$.

For $x=1$, every term $u_r=0$, and the sum is $0$.

For $x>1$, $\ln x>0$ and $(n+1)^{\ln x}\to\infty$, so the partial sums have no finite limit.

Thus the convergence set is $\boxed{0<x\leqslant1}$, with

利用以x为底的对数与指数互逆，把每项幂化为整数平方，再调用平方和与自然数和公式。

Since $x>0$ and $x\ne1$,

Thus (a) gives $S_n=1-(n+1)^2=-n^2-2n$. Using the standard sum formulae,