矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 为

(a) 完整描述 $\mathbf{A}$ 所表示的 $x$-$y$ 平面上的几何变换。

(b) 完整描述 $\mathbf{B}$ 所表示的 $x$-$y$ 平面上的几何变换。

$x$-$y$ 平面上的三角形 $DEF$ 经 $\mathbf{AB}$ 变换后得到三角形 $PQR$。

(c) 证明三角形 $DEF$ 和 $PQR$ 的面积相同。

(d) 求 $\mathbf{AB}$ 所表示的 $x$-$y$ 平面上的变换中，经过原点的不变直线的方程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

矩阵使x增加原y的1.5倍、y不变，属于固定横轴的错切。

The transformation is a shear with the $x$-axis fixed, mapping $(0,1)$ to $(3/2,1)$. In coordinates it is

矩阵使y增加原x的1.5倍、x不变，属于固定纵轴的错切。

The transformation is a shear with the $y$-axis fixed, mapping $(1,0)$ to $(1,3/2)$. In coordinates it is

面积倍数是复合变换行列式的绝对值，可以用两个行列式相乘计算。

The area scale factor is

Hence triangle $PQR$ has the same area as triangle $DEF$.

先求复合矩阵，再设过原点的不变直线为y=mx，要求像点仍满足同一斜率关系。

Multiplying,

For a point $(x,mx)$ on an invariant line, its image $(X,Y)$ satisfies

Thus

The vertical line $x=0$ is not invariant, since the image of $(0,1)$ has first coordinate $3/2$. Therefore the invariant lines are