四次方程 $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ 的根为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\delta$。

(a) 证明一个以 $2\alpha+1$、$2\beta+1$、$2\gamma+1$、$2\delta+1$ 为根的四次方程为

将和 $(2\alpha+1)^n+(2\beta+1)^n+(2\gamma+1)^n+(2\delta+1)^n$ 记为 $S_n$。

(b) 求 $S_2$ 的值。

(c) 已知 $S_3=-22$，求 $S_4$ 的值。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把新根关系y=2x+1反解代入原方程，乘16清分母，再展开整理。

Put $y=2x+1$, so $x=(y-1)/2$. Substitution and multiplication by $16$ give

Expanding,

Hence the required quartic is

as required.

新方程的根和为2，两两乘积和为4，用它们求平方和。

By Vieta’s formulae, the sum of the four new roots is $S_1=2$ and their pairwise-product sum is $4$. Thus

将新根各自满足的四次方程相加，常数11要累加四次。

Each new root $y$ satisfies $y^4-2y^3+4y^2+2y+11=0$. Summing over all four roots gives

Using $S_3=-22$, $S_2=-4$ and $S_1=2$,