平面 $\Pi_1$ 的方程为

(a) 求 $\Pi_1$ 的方程，写成 $ax+by+cz=d$ 的形式。

(b) 求位置向量为 $-\mathbf{i}-2\mathbf{k}$ 的点到 $\Pi_1$ 的垂直距离。

(c) 平面 $\Pi_2$ 的方程为 $3x+2y-z=14$。

求 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的交线的一个向量方程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

平面给出两个方向，用叉积求法向量，然后代入平面上的固定点。

A normal to $\Pi_1$ is

We may use its negative, $(5,-2,1)$. Since $(-3,-1,-1)$ lies on the plane,

Thus $\boxed{5x-2y+z=-14}$.

将点坐标代入平面左式减常数，绝对值除以法向量长度。

For $P=(-1,0,-2)$, the perpendicular distance is

两平面的法向量叉积给出交线方向；再找一个同时满足两平面方程的点。

Normals to the planes are $(5,-2,1)$ and $(3,2,-1)$. Their cross product is

Taking $x=0$, the plane equations are $-2y+z=-14$ and $2y-z=14$, both satisfied by $(0,7,0)$.

Therefore the line of intersection has vector equation