题目

Problem

The cubic equation $x^3+bx^2+cx+d=0$ , where $b$ , $c$ and $d$ are constants, has roots $\alpha$ , $\beta$ and $\gamma$ . It is given that

\begin{align*} \alpha+\beta+\gamma=&\,2,\\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=&\,3,\\ \alpha^4+\beta^4+\gamma^4=&\,5. \end{align*}

(a) Find the values of $b$ and $c$ .

(3)

(b) Find the value of $d$ .

(5)

题目中文翻译

三次方程 $x^3+bx^2+cx+d=0$ 的根为 $\alpha$ 、 $\beta$ 和 $\gamma$ ，其中 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是常数。已知

\begin{align*} \alpha+\beta+\gamma=&\,2,\\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=&\,3,\\ \alpha^4+\beta^4+\gamma^4=&\,5. \end{align*}

(a) 求 $b$ 和 $c$ 的值。

(3)

(b) 求 $d$ 的值。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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先用根和求b，再用平方和与两两乘积和的关系求c。

答题过程

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By Vieta’s formulae,

\alpha+\beta+\gamma=-b=2, \qquad\boxed{b=-2}.

Also $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=c$ , so

3=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2c=4-2c.

Thus $\boxed{c=1/2}$ .

(b)

解法一

思路

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令S下标j表示三根的j次方和。先由原方程求S3关于d的式，再把方程乘根后求和，用已知S4消去。

答题过程

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Let $S_j=\alpha^j+\beta^j+\gamma^j$ . Each root $z$ satisfies

z^3-2z^2+\frac12z+d=0.

Summing over the three roots,

S_3-2S_2+\frac12S_1+3d=0,

so $S_3=2(3)-(1/2)(2)-3d=5-3d$ .

Multiplying the root equation by $z$ and summing gives

S_4-2S_3+\frac12S_2+dS_1=0.

Hence

\begin{align*} 5-2(5-3d)+\frac12(3)+2d=&\,0, \\[4mm] 8d-\frac72=&\,0. \end{align*}

Therefore $\boxed{d=7/16}$ .

CIE 9231 2025 November Paper 12 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程