三次方程 $x^3+bx^2+cx+d=0$ 的根为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，其中 $d\ne0$，且 $\gamma=\dfrac1\beta$。

(a) 证明 $\beta+\dfrac1\beta=d-b$。

(b) 再证明 $\beta+\dfrac1\beta=\dfrac{1-c}{d}$。

(c) 已知 $b=3$、$c=-3$ 且 $d>0$。

(i) 求 $d$ 的值。

(ii) 求 $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

倒数的两根乘积为1，所以根的总乘积直接给出α，再用根和。

Since $\gamma=1/\beta$, we have $\beta\gamma=1$. By Vieta’s formulae,

Also $\alpha+\beta+\gamma=-b$, so

Hence $\boxed{\beta+\frac1\beta=d-b}$, as required.

用两两乘积和，再代入α=−d以及βγ=1。除以d合法，因为题目给出非零。

Vieta’s formula gives

Substituting $\alpha=-d$ and $\gamma=1/\beta$,

Since $d\ne0$, this rearranges to

as required.

把前两小题表示同一根和的式子相等，再用d为正舍去负根。

Equating (a) and (b) with $b=3$, $c=-3$,

Thus $(d-4)(d+1)=0$. Since $d>0$, $\boxed{d=4}$.

平方和由根和与两两乘积和确定，不必分别求出三个根。

Let $S_1=\alpha+\beta+\gamma$ and $S_2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$. By Vieta’s formulae, $S_1=-b$ and $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=c$. Hence