题目

Problem

The points $A$ , $B$ , $C$ have position vectors

3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+5\mathbf{k},\quad2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k},\quad2\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k},

respectively, relative to the origin $O$ .

(a) Find the equation of the plane $ABC$ , giving your answer in the form $ax+by+cz=d$ .

(5)

(b) The point $D$ has position vector $\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ .

Find the shortest distance between the lines $AB$ and $CD$ .

(5)

题目中文翻译

点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 相对于原点 $O$ 的位置向量分别为

3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+5\mathbf{k},\quad2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k},\quad2\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}.

(a) 求平面 $ABC$ 的方程，答案写成 $ax+by+cz=d$ 的形式。

(5)

(b) 点 $D$ 的位置向量为 $\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ 。

求直线 $AB$ 与 $CD$ 之间的最短距离。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

从三个点求两条平面内方向，叉积求法向量，然后代入A确定常数。

答题过程

展开

We have

\begin{align*} \overrightarrow{AB}=&\,(-1,-3,-3),\\[4mm] \overrightarrow{AC}=&\,(-1,-4,-6). \end{align*}

A normal vector is

\begin{align*} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =&\,(18-12,\ 3-6,\ 4-3)\\[4mm] =&\,(6,-3,1). \end{align*}

Using $A=(3,5,5)$ gives

6x-3y+z=18-15+5=8.

Thus $\boxed{6x-3y+z=8}$ .

(b)

解法一

思路

展开

用AB与CD的方向叉积确定公垂线，再投影连接A与C的向量。

答题过程

展开

The line directions are

\begin{align*} \mathbf u=&\,(-1,-3,-3),\\[4mm] \mathbf v=&\,\overrightarrow{CD}=(-1,-2,4). \end{align*}

Their cross product is

\mathbf u\times\mathbf v=(-18,7,-1).

With $\overrightarrow{AC}=(-1,-4,-6)$ , the shortest distance is

\begin{align*} d=&\,\frac{|(-1,-4,-6)\cdot(-18,7,-1)|}{\sqrt{324+49+1}}\\[4mm] =&\,\frac{|18-28+6|}{\sqrt{374}}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac4{\sqrt{374}}}. \end{align*}

CIE 9231 2025 November Paper 14 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程