题目

Problem

The curve $C$ has polar equation $r=\mathrm{e}^{\frac{3}{4}\theta}$ for $0\le\theta\le\alpha$ .

Given that the length of $C$ is $s$ , find $\alpha$ in terms of $s$ .

(5)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的极坐标方程为 $r=\mathrm{e}^{\frac{3}{4}\theta}$ ，其中 $0\le\theta\le\alpha$ 。

已知曲线 $C$ 的长度为 $s$ ，求 $\alpha$ 关于 $s$ 的表达式。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

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用极坐标弧长公式。 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}$ 与 $r$ 成比例，积分后可用对数解出 $\alpha$ 。

答题过程

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Since $r'=\frac34r$ , the length is

\begin{align*} s=&\,\int_0^\alpha\sqrt{r^2+(r')^2}\,\mathrm{d}\theta\\ =&\,\int_0^\alpha\sqrt{\frac{25}{16}e^{3\theta/2}}\,\mathrm{d}\theta\\ =&\,\frac54\int_0^\alpha e^{3\theta/4}\,\mathrm{d}\theta\\ =&\,\frac53\big[e^{3\theta/4}\big]_0^\alpha\\ =&\,\frac53(e^{3\alpha/4}-1). \end{align*}

Thus $e^{3\alpha/4}=1+3s/5$ , so

\boxed{\alpha=\frac43\ln\bigg(1+\frac35s\bigg)}.

CIE 9231 2022 June Paper 21 Q1

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解法一

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