(a) 从 $\cosh$ 和 $\sinh$ 的指数形式定义出发，证明

(b) 求使方程 $\cosh2x=k\sinh x$ 有两个不同实根的 $k$ 的取值集合。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把 $\sinh x$ 写成指数差。平方后加上 $1$，常数项抵消，留下 $\cosh2x$ 的指数形式。

The definitions are $\sinh x=(e^x-e^{-x})/2$ and $\cosh x=(e^x+e^{-x})/2$. Hence

用 (a) 把等式化为关于 $\sinh x$ 的二次方程。因为 $\sinh x$ 在实数上严格递增且值域是全体实数，只需让二次方程有两个不同实根。

By (a), putting $u=\sinh x$ gives $2u^2-ku+1=0$. The map $x\mapsto\sinh x$ is a bijection from $\mathbb R$ to $\mathbb R$, so two distinct real roots in $x$ occur exactly when the discriminant $(-k)^2-4(2)(1)=k^2-8$ is positive. Thus