用代换 $y=vx$ 求微分方程

满足当 $x=1$ 时 $y=0$ 的解。将答案写成 $y=\mathrm{f}(x)$ 的形式，其中 $\mathrm{f}(x)$ 是关于 $x$ 的多项式。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

令 $y=vx$。在含初值的 $x>0$ 区间，根式中可提出正的 $x$，方程变成可分离变量的形式。积分后可写成对数式并平方消去根号，也可用双曲正弦的指数形式化成多项式。

With $y=vx$, we have $y'=v+xv'$. On $x>0$, substitution into the equation gives

Separating variables and integrating gives

At $x=1$, $v=0$, so $C=0$. Using the logarithmic form of $\operatorname{arsinh}$ gives

Exponentiating and using $v=y/x$, with $x>0$, gives $y+\sqrt{9x^2+y^2}=3x^2$. Hence $\sqrt{9x^2+y^2}=3x^2-y$. Squaring gives

Alternatively, the same integrated relation gives

For this polynomial, $\sqrt{9x^2+y^2}=\frac32(x^2+1)$, so it satisfies the original equation and the stated initial condition.