图中显示了方程为 $y=2^x$ 的曲线（$0\le x\le1$），以及一组 $N$ 个矩形，每个矩形的宽均为 $\dfrac{1}{N}$。

(a) 通过考虑这些矩形的面积之和，证明 $\displaystyle\int_0^1 2^x\,\mathrm{d}x<U_N$，其中

(b) 用类似的方法求 $\displaystyle\int_0^1 2^x\,\mathrm{d}x$ 的一个下界 $L_N$，用含 $N$ 的式子表示。

(c) 求满足 $U_N-L_N<10^{-4}$ 的 $N$ 的最小值。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

指数函数递增，题图取右端点，所以面积和给出严格上界。相邻矩形高度的比是 $2^{1/N}$。

Let $r=2^{1/N}$, so $r^N=2$. The right-endpoint rectangle sum is

Since $2^x$ is strictly increasing, the curve lies below the top of each rectangle on the interval interior, so $\int_0^1 2^x\,\mathrm{d}x<U_N$.

改用左端点。矩形高度从 $1$ 开始，共 $N$ 项，仍可用等比求和。

The left-endpoint rectangles give a lower bound since $2^x$ is increasing. Their area sum is

The rectangles lie strictly below the curve on each interval interior, so $L_N<\int_0^1 2^x\,\mathrm{d}x$.

上下界相减后约掉 $2^{1/N}-1$。题设是不含等号的严格不等式，取整数时需再进一位。

We have

The inequality $1/N<10^{-4}$ gives $N>10000$, so the least integer is $\boxed{10001}$.