变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

已知当 $x=0$ 时，$y=-3$ 且 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2$。

(a) 求 $y$ 关于 $x$ 的表达式。

(b) 由此推导出使 $y=0$ 的 $x$ 的精确值。将答案写成对数形式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先求辅助方程的两个实根。右端为常数，试常数特解，再用两个初值求互补函数的系数。

The auxiliary equation $4m^2-1=0$ gives $m=\pm\frac12$. A constant particular solution is $-3$, so the general solution is $y=Ae^{x/2}+Be^{-x/2}-3$. Differentiating gives $y'=\frac12Ae^{x/2}-\frac12Be^{-x/2}$. The initial conditions give

Adding $A+B=0$ and $A-B=4$ gives $2A=4$, so $A=2$ and $B=-2$. Therefore

用 (a) 将 $y=0$ 化为双曲正弦方程，再将反双曲正弦写成对数。

The condition $y=0$ gives $\sinh(x/2)=3/4$. Hence

Therefore $\boxed{x=\ln4}$.

也可令 $w=e^{x/2}>0$，把指数方程化成二次方程。只保留正根。

With $w=e^{x/2}$, the condition is $2w-2/w-3=0$. Multiplying by $w$ gives $2w^2-3w-2=0$, which factors as $(w-2)(2w+1)=0$. Since $w>0$, we have $w=2$, hence $x=2\ln2=\ln4$.