(a) 求 $\displaystyle\int\sin\theta\cos^n\theta\,\mathrm{d}\theta$，其中 $n\ne-1$。

设 $\displaystyle I_{m,n}=\int_0^{\frac{1}{2}\pi}\sin^m\theta\cos^n\theta\,\mathrm{d}\theta$。

(b) 证明当 $m\ge2$ 且 $n\ge0$ 时，

(c) 通过考虑 $\big(z+\frac{1}{z}\big)^5$ 的二项展开式，其中 $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$，用棣莫弗定理证明

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是待求的常数。

(d) 利用 (b) 和 (c) 中给出的结果，求 $I_{2,5}$ 的精确值。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

令 $u=\cos\theta$，则 $\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=-\mathrm{d}u$。剩下的是普通幂函数积分。

Taking $u=\cos\theta$ gives

将 $\sin^m\theta$ 拆成 $\sin^{m-1}\theta$ 和一个 $\sin\theta$，用 (a) 分部积分。边界项消失后，再用 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$。

Using (a), take $u=\sin^{m-1}\theta$ and $\mathrm{d}v=\sin\theta\cos^n\theta\,\mathrm{d}\theta$. Then $\mathrm{d}u=(m-1)\sin^{m-2}\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ and $v=-\cos^{n+1}\theta/(n+1)$. Integration by parts gives

The boundary term vanishes because $m-1>0$ and $n+1>0$. Now $\cos^{n+2}\theta=\cos^n\theta(1-\sin^2\theta)$, so

Multiplying by $n+1$ and collecting $I_{m,n}$ gives $(n+1+m-1)I_{m,n}=(m-1)I_{m-2,n}$. Therefore $I_{m,n}=\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n}$.

也可先用 $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ 将 $I_{m,n}$ 分成两个积分。然后对含 $\cos^{n+2}\theta$ 的积分做分部积分。

First write

In $J$, integrate $\sin^{m-2}\theta\cos\theta$ and differentiate $\cos^{n+1}\theta$. Take $u=\cos^{n+1}\theta$ and $v=\sin^{m-1}\theta/(m-1)$. The boundary term $[\sin^{m-1}\theta\cos^{n+1}\theta/(m-1)]_0^{\pi/2}$ is zero because both exponents are positive, leaving

Substituting gives $[1+(n+1)/(m-1)]I_{m,n}=I_{m-2,n}$, hence $I_{m,n}=\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n}$.

由 $z+z^{-1}=2\cos\theta$ 展开五次方。把指数相反的项配对，再用 de Moivre 定理写成余弦。

Since $|z|=1$, we have $z^{-1}=\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta$ and $z+z^{-1}=2\cos\theta$. The full binomial expansion is

Pairing opposite powers gives

By de Moivre’s theorem $z^k+z^{-k}=2\cos(k\theta)$. Thus

so $(a,b,c)=(1/16,5/16,5/8)$.

先用 (b) 将 $I_{2,5}$ 化成 $I_{0,5}$ 的七分之一。再将 (c) 中的三项逐项积分。

By (b), $I_{2,5}=\frac17 I_{0,5}$. Applying (c), then using $\sin(5\pi/2)=1$, $\sin(3\pi/2)=-1$ and $\sin(\pi/2)=1$, gives

Hence $\boxed{I_{2,5}=\frac8{105}}$.