积分 $I_n$ 定义为 $I_n=\displaystyle\int_0^1\big(1+x^5\big)^n\,\mathrm{d}x$。

(a) 通过考虑 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(x\big(1+x^5\big)^n\big)$，或用其他方法，证明

(b) 求 $I_3$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

求乘积的导数，再把其中的 $x^5$ 写成 $(1+x^5)-1$。这样积分后只含相邻两个 $I$。

The product rule gives

Integrating on $[0,1]$ gives $2^n=(5n+1)I_n-5nI_{n-1}$. This rearranges to $(5n+1)I_n=2^n+5nI_{n-1}$.

把被积函数看作 $(1+x^5)^n\cdot1$，分部积分后用 $x^5=(1+x^5)-1$，便出现 $I_n$ 和 $I_{n-1}$。

Take $u=(1+x^5)^n$ and $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$, so $\mathrm{d}u=5nx^4(1+x^5)^{n-1}\,\mathrm{d}x$ and $v=x$. Integration by parts gives

Hence $(5n+1)I_n=2^n+5nI_{n-1}$.

由 $I_0=1$ 开始，依次取 $n=1,2,3$。每一步保留分数。

Starting from $I_0=1$, the recurrence gives

Then

$n=3$ 时也可直接展开被积函数。各项都是整数次幂，逐项积分即可。

Since $(1+x^5)^3=1+3x^5+3x^{10}+x^{15}$,