(a) 用代换 $u=x^2-1$，求 $\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,\mathrm{d}x$。

图中显示了方程为 $y=\cosh^{-1}x$ 的曲线，以及一组由 $(N-1)$ 个宽为 $1$ 的矩形组成的图形。

(b) 通过考虑这些矩形的面积之和，证明

(c) 用类似的方法求 $\displaystyle\sum_{r=2}^{N}\ln\big(r+\sqrt{r^2-1}\big)$ 的一个上界，用 $N$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

令 $u=x^2-1$ 后，分子 $x\,\mathrm{d}x$ 变成 $\frac12\mathrm{d}u$。

With $u=x^2-1$, $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$, so

题图取右端点，递增曲线下的面积小于矩形总面积。对反双曲余弦做分部积分，余项正好使用 (a)。

Let $f(x)=\operatorname{arcosh}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$. It is strictly increasing for $x\ge1$. The right-endpoint rectangles of width one on $[1,N]$ have total area $f(2)+f(3)+f(4)+\cdots+f(N-1)+f(N)$. Hence

For integration by parts, take $u=f(x)$ and $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$. Then $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x/\sqrt{x^2-1}$ and $v=x$. Using (a),

Thus an antiderivative is $xf(x)-\sqrt{x^2-1}$ for $x>1$. It tends to zero as $x\to1^+$, so

Substitution into the comparison proves the stated inequality.

在同一区间改用左端点。由于 $f(1)=0$，左端点和与所求的和只差最后一个 $f(N)$。

On $[1,N]$ the left-endpoint rectangle sum is $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(N-2)+f(N-1)$. It satisfies

Adding $f(N)$ and using $f(1)=0$ gives the upper bound

For $N>2$, comparing $f(2)+\cdots+f(N-1)$ with $\int_2^N f(x)\,\mathrm{d}x$ also gives the slightly smaller upper bound

也可把第 $r$ 项作为区间 $[r,r+1]$ 的左端点矩形。这样恰好覆盖所求的全部项，比较的积分改为从 $2$ 到 $N+1$。

For $r=2,\ldots,N$, $f(r)<\int_r^{r+1}f(x)\,\mathrm{d}x$ because $f$ is strictly increasing. Thus the sum is less than $\int_2^{N+1}f(x)\,\mathrm{d}x$. Using the antiderivative from (b), this upper bound is