(a) 求 $\sin^{-1}x$ 的麦克劳林级数，展开至并包括 $x^3$ 项。

(b) 由此推导出 $\displaystyle\int_0^{\frac{1}{5}}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u$ 的近似值，将答案写成分数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

从 $\arcsin x$ 的导数出发，用乘积法则求到三阶。代入 $x=0$ 后，一次项和三次项留下。

Let $f(x)=\arcsin x$. Then

At $x=0$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=0$ and $f'''(0)=1$. Using

the terms through degree three are $\boxed{x+\frac{x^3}{6}}$.

也可令 $y=\arcsin x$，用 $\sin y=x$ 隐式求导。这样各阶导数都可先用 $y$ 表示，再在 $y=0$ 处取值。

From $\sin y=x$, implicit differentiation gives $y'=\sec y$. Using the chain rule twice gives

At $x=0$, $y=0$, so these derivatives have values $1,0,1$ respectively. The expansion through the term in $x^3$ is $x+x^3/6$.

被积函数是 $\arcsin u$ 的导数。用 (a) 在上限 $u=1/5$ 处近似，减去零点的值。

Since $\arcsin0=0$, the integral equals $\arcsin(1/5)$. Using (a), its approximation is