变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

(a) 求 $x$ 关于 $t$ 的通解。

(b) 写出当 $t$ 为很大的正数时的一个近似解。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解辅助方程得到两个衰减的指数项。再试二次多项式，逐项比较右边的系数。

The auxiliary equation $(2m+1)(3m+1)=0$ gives the complementary function $Ae^{-t/2}+Be^{-t/3}$. For the particular integral, take $x_{\mathrm p}=pt^2+qt+r$. Then $x_{\mathrm p}'=2pt+q$ and $x_{\mathrm p}''=2p$, so

Matching coefficients with $t^2+10t+13$ gives

Thus $q=0$ and $r=1$. The general solution is

当 $t$ 很大时，两个指数项都趋于零，留下二次多项式。

As $t\to+\infty$, $Ae^{-t/2}+Be^{-t/3}\to0$ for fixed $A,B$. Thus $x\approx t^2+1$.