通过考虑 $\bigg(z+\frac{1}{z}\bigg)^4$ 和 $\bigg(z-\frac{1}{z}\bigg)^4$ 的二项展开式，其中 $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$，用棣莫弗定理证明

其中 $a$ 和 $b$ 是待求的整数。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

$z+z^{-1}=2\cos\theta$，而 $z-z^{-1}=2\mathrm{i}\sin\theta$。将两者的四次方分别展开，配对正负指数，再取比值。

Since $|z|=1$, $z^{-1}=\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta$. Hence $z+z^{-1}=2\cos\theta$ and $z-z^{-1}=2\mathrm{i}\sin\theta$. The two binomial expansions are

By de Moivre’s theorem $z^k+z^{-k}=2\cos(k\theta)$. The left-hand sides are $16\cos^4\theta$ and $16\sin^4\theta$ respectively, since $\mathrm{i}^4=1$. Thus

Taking the ratio, when $\sin\theta\ne0$,

Thus $a=4$ and $b=3$.