题目

Problem

(a) Starting from the definitions of $\cosh$ and $\sinh$ in terms of exponentials, prove that

2\cosh^2x=\cosh2x+1.

(3)

(b) Find the solution of the differential equation

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y\tanh x=1

for which $y=1$ when $x=0$ . Give your answer in the form $y=\mathrm{f}(x)$ .

(8)

题目中文翻译

(a) 从 $\cosh$ 和 $\sinh$ 的指数形式定义出发，证明

2\cosh^2x=\cosh2x+1.

(3)

(b) 求微分方程

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y\tanh x=1

满足当 $x=0$ 时 $y=1$ 的解。将答案写成 $y=\mathrm{f}(x)$ 的形式。

(8)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $\cosh x$ 写成指数和。平方展开后，将首尾两项合成 $\cosh2x$ 。

答题过程

展开

The definitions are $\cosh x=(e^x+e^{-x})/2$ and $\sinh x=(e^x-e^{-x})/2$ . Therefore,

\begin{align*} 2\cosh^2x=&\,\frac12(e^x+e^{-x})^2\\ =&\,\frac12(e^{2x}+e^{-2x})+1\\ =&\,\cosh2x+1. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 $2\int\tanh x\,\mathrm{d}x=2\ln(\cosh x)+C$ 得到积分因子 $\cosh^2x$ 。乘上后，用 (a) 积分。

答题过程

展开

The equation is linear in $y$ . Since $(\cosh x)'=\sinh x$ and $\cosh x>0$ ,

\int2\tanh x\,\mathrm{d}x =2\int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,\mathrm{d}x=2\ln(\cosh x)+C.

An integrating factor is $e^{2\ln(\cosh x)}=\cosh^2x$ . Multiplying by it gives

(y\cosh^2x)'=\cosh^2x.

Using (a),

\begin{align*} \int\cosh^2x\,\mathrm{d}x =&\,\frac12\int(\cosh2x+1)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac14\sinh2x+\frac x2+C. \end{align*}

Therefore

y\cosh^2x=\frac14\sinh2x+\frac x2+C.

At $x=0$ , $y=1$ and $\cosh x=1$ , so $C=1$ . Hence

y=\operatorname{sech}^2x\bigg(1+\frac x2+\frac14\sinh2x\bigg).

CIE 9231 2023 June Paper 23 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程