图中显示了 $0\le x\le 1$ 时方程为 $y=(1-x)^2$ 的曲线，以及一组由 $n$ 个宽为 $\dfrac{1}{n}$ 的矩形组成的图形。

(a) 通过考虑这些矩形的面积之和，证明 $\displaystyle\int_0^1(1-x)^2\,\mathrm{d}x<U_n$，其中

(b) 用类似的方法求 $\displaystyle\int_0^1(1-x)^2\,\mathrm{d}x$ 的一个下界 $L_n$，用 $n$ 表示。

(c) 证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(U_n-L_n)=0$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

曲线递减，题图的左端点矩形给出上界。把各矩形高度写成平方，从 $n^2$ 到 $1^2$ 反向排列后即可用平方和公式。

The function $f(x)=(1-x)^2$ is strictly decreasing on $[0,1]$, so the left-endpoint rectangle sum is a strict upper bound. Its heights are $1,(1-1/n)^2,(1-2/n)^2,\ldots,(2/n)^2,(1/n)^2$, each with width $1/n$. Using $\sum_{j=1}^n j^2=n(n+1)(2n+1)/6$, we obtain

Thus $\int_0^1(1-x)^2\,\mathrm{d}x<U_n$.

换用右端点，平方和改为从 $0^2$ 加到 $(n-1)^2$。递减性保证这一组矩形位于曲线下方。

The right-endpoint heights are $(1-1/n)^2,(1-2/n)^2,(1-3/n)^2,\ldots,(1/n)^2,0$. They give the lower bound

分母相同，分子只剩一次项之差。

We have