积分 $I_n$ 定义为 $I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{4}{3}}\big(1+x^2\big)^{\frac{1}{2}n}\,\mathrm{d}x$，其中 $n$ 是整数。

(a) 求 $I_{-1}$ 的精确值，将答案写成 $\ln a$ 的形式，其中 $a$ 是待求的整数。

(b) 通过考虑 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(x\big(1+x^2\big)^{\frac{1}{2}n}\big)$，或用其他方法，证明

(c) 曲线的方程为 $y=x^2$，其中 $0\le x\le\frac{2}{3}$。该曲线的弧长记为 $s$。

用代换 $u=2x$ 证明 $s=\frac{1}{2}I_1$，并求 $s$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

被积函数是反双曲正弦的导数。代入上下限，再将结果写成对数。

We obtain

Thus $a=3$.

对题给乘积求导，再把 $x^2$ 写成 $(1+x^2)-1$。代入上端点时，$\sqrt{1+(4/3)^2}=5/3$。

Differentiating and simplifying gives

Integrating on $[0,4/3]$, the boundary term is

Thus

Rearranging yields the stated recurrence.

弧长被积函数是 $\sqrt{1+4x^2}$。令 $u=2x$ 后可直接认出 $I_1$，再用 (a)、(b) 求值。

Using $s=\int\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x$, $y'=2x$ and $u=2x$, we have $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u/2$ and limits $u=0,4/3$. Hence

where $u=2x$. Setting $n=1$ in (b) gives $2I_1=I_{-1}+\frac{20}{9}$. Therefore