矩阵 $\mathbf{A}$ 为

其中 $a$ 是常数，且 $a\ne0$、$a\ne1$。

(a) 证明方程 $\mathbf{A}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ 有唯一解，并从几何角度解释这种情况。

(b) 证明 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $a$、$1-a$ 和 $-1$。

(c) 求矩阵 $\mathbf{P}$ 和对角矩阵 $\mathbf{D}$，使得 $\mathbf{A}^4=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$。

(d) 用 $\mathbf{A}$ 的特征方程求 $\mathbf{A}^4$，用 $\mathbf{A}$ 和 $a$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

第一列只有一个非零元素，沿这一列展开行列式。行列式非零说明三个平面恰有一个公共点。

Expanding along the first column gives $\det\mathbf A=-a(1-a)$. This is non-zero since $a\ne0,1$, so the matrix equation has a unique solution. Geometrically the three planes meet at exactly one point.

在 $\lambda\mathbf I-\mathbf A$ 中仍可沿第一列展开，再沿剩下二阶行列式的第一行展开。

The characteristic equation is

Thus the eigenvalues are $a$, $1-a$ and $-1$.

选取三个无需除以含 $a$ 因子的特征向量，直接相乘验证。即使某两个特征值相等，只要这三个向量线性无关，仍可组成 $\mathbf P$。

The first column of $\mathbf A$ shows that $(1,0,0)^{\mathsf T}$ is an eigenvector with eigenvalue $a$. For eigenvalue $1-a$, choosing $v_2=v_3$ and $v_1=2v_2$ makes all rows of $(\mathbf A-(1-a)\mathbf I)\mathbf v$ zero. For eigenvalue $-1$, choosing $v_2=0$ and $v_1=-2v_3$ makes $(\mathbf A+\mathbf I)\mathbf v=\mathbf0$. In particular,

Thus one choice is

Since $\det\mathbf P=1$, the eigenvectors form a basis for every allowed $a$, including values with repeated eigenvalues. The fourth powers therefore give $\mathbf A^4=\mathbf P\mathbf D\mathbf P^{-1}$.

先展开 (b) 的特征多项式。用 Cayley–Hamilton 定理把 $\mathbf A^3$ 写成低次幂，再乘 $\mathbf A$。

Expanding the characteristic polynomial gives

By the Cayley–Hamilton theorem,

Multiplying by $\mathbf A$ gives