题目
Problem
It is given that
x = sin − 1 t and y = t cos − 1 t for 0 ≤ t < 1. x=\sin^{-1}t\qquad\text{and}\qquad y=t\cos^{-1}t\quad\text{for }0\le t<1. x = sin − 1 t and y = t cos − 1 t for 0 ≤ t < 1. (a) Show that
d y d x = − t + 1 − t 2 cos − 1 t . \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-t+\sqrt{1-t^2}\cos^{-1}t. d x d y = − t + 1 − t 2 cos − 1 t . [3]
(b) Find d 2 y d x 2 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} d x 2 d 2 y t t t
[4]
题目中文翻译
已知
x = sin − 1 t 以及 y = t cos − 1 t 其中 0 ≤ t < 1 x=\sin^{-1}t\qquad\text{以及}\qquad y=t\cos^{-1}t\quad\text{其中 }0\le t<1 x = sin − 1 t 以及 y = t cos − 1 t 其中 0 ≤ t < 1 (a) 证明
d y d x = − t + 1 − t 2 cos − 1 t \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-t+\sqrt{1-t^2}\cos^{-1}t d x d y = − t + 1 − t 2 cos − 1 t (3)
(b) 求用 t t t d 2 y d x 2 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} d x 2 d 2 y
(4)
原卷通用作答要求
Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.
You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.
Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.
请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。
解答
(a)
解法一
思路
展开
对 y = t arccos t y=t\arccos t y = t arccos t d x d t \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} d t d x
答题过程
展开
We have
d x d t = 1 1 − t 2 , d y d t = arccos t − t 1 − t 2 . \begin{align*}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,\frac1{\sqrt{1-t^2}},\\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,\arccos t-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}.
\end{align*} d t d x = d t d y = 1 − t 2 1 , arccos t − 1 − t 2 t . Taking the ratio gives
d y d x = − t + 1 − t 2 arccos t . \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-t+\sqrt{1-t^2}\arccos t. d x d y = − t + 1 − t 2 arccos t .
(b)
解法一
思路
展开
对 (a) 的结果先关于 t t t d t d x \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} d x d t
答题过程
展开
The product rule gives
d d t ( d y d x ) = − 1 − t arccos t 1 − t 2 − 1 = − 2 − t arccos t 1 − t 2 . \begin{align*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg)
=&\,-1-\frac{t\arccos t}{\sqrt{1-t^2}}-1\\
=&\,-2-\frac{t\arccos t}{\sqrt{1-t^2}}.
\end{align*} d t d ( d x d y ) = = − 1 − 1 − t 2 t arccos t − 1 − 2 − 1 − t 2 t arccos t . Multiplying by d t d x = 1 − t 2 \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1-t^2} d x d t = 1 − t 2
d 2 y d x 2 = − 2 1 − t 2 − t arccos t . \boxed{\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=-2\sqrt{1-t^2}-t\arccos t}. d x 2 d 2 y = − 2 1 − t 2 − t arccos t . 