已知当 $n\ge0$ 时，

(a) 证明当 $n\ge2$ 时，

可使用以下结果：

(b) 求 $I_4$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把 $\operatorname{sech}^n x$ 拆成 $\operatorname{sech}^{n-2}x$ 和 $\operatorname{sech}^2x$ 做分部积分。用 $\tanh^2 x=1-\operatorname{sech}^2x$ 把剩下的积分写成两个 $I$。

Take $u=\operatorname{sech}^{n-2}x$ and $\mathrm{d}v=\operatorname{sech}^2x\,\mathrm{d}x$. Then $v=\tanh x$ and

Integration by parts gives

At $0$, $\tanh x=0$. At $x=\ln3$, the exponential definitions give

Rearranging gives

先积分求 $I_2$，再令递推式中的 $n=4$。

Since $I_2=[\tanh x]_0^{\ln3}=\frac45$, setting $n=4$ gives

Thus $\boxed{I_4=\frac{236}{375}}$.

也可直接用 $u=\tanh x$。一对 $\operatorname{sech}^2 x\,\mathrm{d}x$ 变成 $\mathrm{d}u$，另一对用 $1-u^2$ 代换。

Let $u=\tanh x$, so $\mathrm{d}u=\operatorname{sech}^2x\,\mathrm{d}x$ and $\operatorname{sech}^2x=1-u^2$. Then