图中显示曲线 $y=x^{-2}$，其中 $2\le x\le N$，以及一组宽度均为 1 的 $N-2$ 个矩形。

(a) 通过考虑这些矩形的面积之和，证明

(b) 使用类似方法，求关于 $N$ 的下列和式的上界：

(c) 推出

的下界和上界。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

$x^{-2}$ 递减，题图的左端点矩形在曲线上方。面积和从 $2$ 加到 $N-1$，再补上首尾两项得到题目要求的和。

For $N>2$, the left-endpoint rectangles of width one lie above $f(x)=x^{-2}$ on the interior of each interval. The left-endpoint areas are $2^{-2}$, $3^{-2}$, $4^{-2}$, $\ldots$, $(N-2)^{-2}$, $(N-1)^{-2}$. Hence

Adding $1$ and $1/N^2$ to both sides gives

换用右端点，矩形面积和小于积分。这个和从 $3$ 加到 $N$，补上 $r=1,2$ 两项即可。

The right-endpoint areas are $3^{-2}$, $4^{-2}$, $5^{-2}$, $\ldots$, $(N-1)^{-2}$, $N^{-2}$. These rectangles lie below the decreasing curve, so

Adding $1+\frac14$ gives

部分和递增且有上界，因此收敛。让 $N$ 趋于无穷，首尾的 $1/N$ 项消失。若要保留严格不等号，可保留 $[2,3]$ 上固定的矩形误差。

The partial sums increase and are bounded above by $\frac74$, so they converge. In (a) the first rectangle exceeds the integral on $[2,3]$ by $\frac14-\frac16=\frac1{12}$. In (b) the integral on that same interval exceeds the first rectangle by $\frac16-\frac19=\frac1{18}$. These positive gaps remain as $N\to\infty$. In particular,