平面 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 不相交，且都垂直于 $\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$。直线 $l$ 与 $\Pi_1$ 相交于点 $(1,6,0)$，并与 $\Pi_2$ 相交于点 $(3,-6,0)$。

(a) 求 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 的笛卡尔方程。

(b) 将 $l$ 的向量方程写成

的形式，其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为待确定的向量，并据此证明直线 $l$ 上的点满足

矩阵 $\mathbf{A}$ 为

(c) 证明 $\mathbf{A}$ 的特征方程为 $-\lambda^3+3\lambda^2+\frac74\lambda=0$，并据此求 $\mathbf{A}$ 的特征值。

(d) 求矩阵 $\mathbf{P}$ 和对角矩阵 $\mathbf{D}$，使得 $\mathbf{A}^n=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$，其中 $n$ 为正整数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

两平面都有法向量 $(1,2,3)$。把各自已知的点代入 $x+2y+3z=d$，求对应常数。

The planes have equations of the form $x+2y+3z=d$. Substituting $(1,6,0)$ gives $d=13$, while substituting $(3,-6,0)$ gives $d=-9$. Therefore

用两点坐标之差求方向向量。再由参数式消去 $\lambda$。

The difference of the given points is $(2,-12,0)$, so we can use $(1,-6,0)$ as the direction vector. Thus

It follows that $x=1+\lambda$, $y=6-6\lambda$ and $z=0$. Substituting gives $\frac12x+\frac1{12}y=1$.

在 $\mathbf A-\lambda\mathbf I$ 的行列式中，先用第二行减第一行。新行只有两个非零项，沿这一行展开较简单。

In $\det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)$, subtract the first row from the second to give the second row $(\lambda,-\lambda,0)$. Expanding along it gives

Setting the determinant to zero gives the characteristic equation and the eigenvalues $\boxed{0,\frac72,-\frac12}$.

对每个特征值求一个特征向量。矩阵的 $n$ 次幂保留这些向量，只把特征值提升到 $n$ 次幂。

For $\lambda=0$, the equations are $v_1+2v_2+3v_3=0$ and $6v_1+v_2=0$, so take $(3,-18,11)^{\mathsf T}$. For each non-zero eigenvalue, subtracting the first two eigenvector equations gives $v_1=v_2$. The first equation then gives $v_3=(\lambda-3)v_1/3$. Thus we can take $(6,6,1)^{\mathsf T}$ for $\lambda=\frac72$ and $(6,6,-7)^{\mathsf T}$ for $\lambda=-\frac12$.

These three eigenvectors are independent, so one choice is

This gives $\mathbf A^n=\mathbf P\mathbf D\mathbf P^{-1}$ for every positive integer $n$.