通过考虑 $\big(z - \frac{1}{z}\big)^5$ 的二项展开，其中 $z = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta$，使用 de Moivre 定理证明

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是需要确定的整数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

展开 $(z-z^{-1})^5$，把指数互为相反数的项配对。用 de Moivre 定理把这些差改写成正弦，最后在 $\sin\theta\ne0$ 时取倒数。

By de Moivre’s theorem $z^m-z^{-m}=2\mathrm{i}\sin(m\theta)$ for integer $m$. The binomial expansion is

Since $z-z^{-1}=2\mathrm{i}\sin\theta$, dividing by $2\mathrm{i}$ gives

For $\sin\theta\ne0$ we therefore have