图中显示曲线 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}$，其中 $x \ge 1$，以及一组宽度为 $1$ 的 $n - 1$ 个矩形。

(a) 通过考虑这些矩形面积之和，证明

(b) 使用类似方法，求用 $n$ 表示的 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{r}}e^{\sqrt{r}}$ 的一个下界。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

题图的矩形取左端点。先确认函数递增，因此图中矩形面积和小于积分。这个和只到 $n-1$，最后要补上第 $n$ 项。

Let $f(x)=e^{\sqrt x}/\sqrt x$. For $x>1$,

With $u=\sqrt x$, we have $\mathrm{d}x=2u\,\mathrm{d}u$, so

The left-endpoint rectangles on $[1,n]$, for $n\ge2$, have total area

Comparing with the integral gives

Adding $f(n)$ to both sides gives

改用右端点，面积和大于同一个积分。右端点从 $2$ 开始，加回第 $1$ 项即可。

The right-endpoint rectangles have heights $f(2),f(3),f(4),\ldots,f(n-1),f(n)$. They give $\sum_{r=2}^n f(r)>\int_1^n f(x)\,\mathrm{d}x$. Adding $f(1)=e$ gives